L’analisi delle configurazioni di coppelle

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Valori delle probabilità

Lo scopo di questo lavoro è quello di mettere a punto una metodologia oggettiva basata su solide basi matematiche e statistiche capace di classificare in maniera del tutto automatica e affidabile le configurazioni rilevate, fornendo anche una misura della quantità di informazione in esse codificata.

by Adriano Gaspani

 

TRACCE PHP-Nuke version, 2002-2011

L’analisi delle configurazioni pseudolineari di coppelle
mediante reti neuronali artificiali


 
Introduzione

Accade sovente che la disposizione delle coppelle che sono rilevabili sui massi e sulle rocce sembri essere, a prima vista, del tutto casuale. In altri casi invece la disposizione delle coppelle è tale da suggerire la possibilità che esse siano state, in origine, disposte deliberatamente secondo modelli regolari. In taluni casi addirittura si rileva uno sviluppo regolare lungo una o più direzioni privilegiate che talvolta potrebbero coincidere con una o più direzioni astronomicamente significative. A meno dell’esistenza di improbabili fonti scritte, ogni valutazione relativamente alla possibile distribuzione spaziale viene usualmente operata sulla base di criteri euristici o empirici. Lo scopo di questo lavoro è quello di mettere a punto una metodologia oggettiva basata su solide basi matematiche e statistiche capace di classificare in maniera del tutto automatica e affidabile le configurazioni rilevate, fornendo anche una misura della quantità di informazione in esse codificata.

 
Informazione codificata in una configurazione

Il problema di misurare quanta informazione sia contenuta in una configurazione di coppelle è di non facile soluzione. Dal punto di vista matematico e formale dobbiamo definire un sistema di riferimento sul terreno costituito da due assi ortogonali arbitrariamente orientati (le direzioni Nord e Est geografico vanno benissimo) e identificare ciascuna coppella con le coordinate ortogonali del suo baricentro (o centroide). In questo modo avremo a disposizione, per N coppelle, N coppie di coordinate ortogonali Xm, Ym, con (m=1,…,N), ognuna delle quali identifica la posizione di una coppella rispetto ad un sistema di riferimento dato. La quantità di informazione mediamente codificata nella configurazione è misurabile calcolando l’Entropia assoluta, indicata con H, della configurazione nel suo complesso. Per fare questo sarà necessario calcolare il centroide C della configurazione il quale corrisponderà ad un punto di coordinate Xo, Yo riferite al sistema di coordinate ortogonali di riferimento. Le coordinate ortogonali del centroide C coincideranno quindi con i valori medi delle coordinate Xm e Ym considerate separatamente. Il passo successivo sarà quello di calcolare la distanza euclidea di tutte le coppelle dal baricentro, o centroide, della configurazione. La media di tutte le distanze euclidee dovrà essere nulla (per definizione di centroide), ma la sua varianza var(d), calcolata come la media dei quadrati delle distanze sarà tanto più elevata quanto più le coppelle saranno disperse rispetto alla posizione del centroide dell’intera configurazione. La varianza è in qualche modo una misura del contenuto di energia interna globale della configurazione così come si presenta. Le distanze saranno distribuite secondo una determinata funzione Densità di Probabilità. L’entropia complessiva della distribuzione spaziale delle coppelle sarà quindi valutabile sulla base della funzione densità di probabilità che caratterizza la distribuzione delle loro distanze dal baricentro della configurazione. Assumendo che la roccia contenga un numero sufficientemente elevato di coppelle è possibile assumere a priori che la funzione densità di probabilità si avvicini sufficientemente ad una distribuzione Normale (Gaussiana) con media zero e varianza pari a quella misurata sperimentalmente. In questo caso la teoria diviene notevolmente semplificata ed è possibile esprimere analiticamente l’entropia H dell’intera configurazione, in funzione della varianza delle distanze, nel modo seguente (Haykin, 1994):
H = 0.5 ( 1 + ln( 6.2832 var(d) ) )

Nei casi in cui il numero di coppelle sia relativamente basso, diciamo inferiore a 10, allora è più appropriato assumere che la funzione densità di probabilità si avvicini alla distribuzione uniforme anziché a quella normale. In questo caso l’entropia potrà essere valutata mediante la seguente relazione analitica (Proakis, 1988):

H = 0.5 ( 1 + ln( 12 var(d) ) )

Osserviamo che nel caso della distribuzione Uniforme, l’entropia risultante è un poco maggiore rispetto a quella derivante dall’aver assunto, per le coppelle, una distribuzione Gaussiana. Questo deriva dal fatto che la distribuzione Uniforme richiede meno prerequisiti rispetto a quella Normale.

L’entropia assoluta e’, come detto in precedenza, il contenuto medio di informazione codificata nella configurazione delle coppelle all’interno della configurazione considerata. Ciò significa che H è la somma pesata delle autoinformazioni Im, cioè di ciascuna quantità di informazione associata al verificarsi dell’evento relativo al fatto che una determinata coppella occupi proprio il posto osservato entro la mappa complessiva della configurazione. La funzione peso e’, in questo caso, la probabilità, qui indicata con Pm che la sepoltura occupi proprio il luogo osservato. Abbiamo qui introdotto una nuova quantità che è stata denominata Autoinformazione. Indichiamo questa quantità, misurata per ogni singola coppella presente nella configurazione, con Im e l’indice m si riferisce alla coppella considerata tra quelle presenti nella configurazione. Chiariamo un poco la questione. Data un coppella facente parte della configurazione in esame, il solo fatto che essa sia posizionata ad una certa distanza euclidea dal centroide della configurazione implica che questo evento racchiude in se una certa quantità di informazione che discende dal fatto che chi la posiziono’ in quel luogo lo fece o casualmente oppure tenendo presenti alcuni criteri, a noi ovviamente oggi completamente sconosciuti. Siccome Im è l’informazione corrispondente all’evento: “coppella posizionata ad una distanza dm dal baricentro della configurazione“, essa viene denominata autoinformazione (self-information) associata a quell’evento. La Teoria dell’Informazione ci dice che l’autoinformazione associata ad un dato evento è legata in maniera semplice alla probabilità che tale evento si verifichi effettivamente. Tale legame si concretizza nella seguente equazione:
Im = -ln(Pm) (m=1,…,N)
la quale mette in evidenza che un evento casuale che ha probabilità pari a 1 (=100%) di verificarsi; quindi è un evento sicuro, avrà autoiformazione nulla in quanto la sicurezza che esso accada non richiede il verificarsi di particolari condizioni affinché esso avvenga. Esso semplicemente accadrà sempre e in ogni caso, per cui non esisteranno particolari ragioni per meravigliarci se accade e quindi di cercare il motivo per cui l’evento si verifica. Al contrario, un evento di probabilità bassa richiede che siano verificati contemporaneamente tutta una serie di fattori che concorrono al verificarsi dell’evento, altrimenti esso non si verifica affatto. è chiaro che il verificarsi di un evento poco probabile racchiude dentro di se un’alta quantità di informazione relativamente alle cause che hanno concorso a produrre quell’evento. Spingendoci al caso estremo: un evento che ha probabilità quasi nulla di verificarsi, se si verifica, racchiude in se una quantità di informazione molto elevata, per cui la sua autoinformazione tenderà all’infinito, con il tendere a zero della probabilità. Tornando al caso delle coppelle che fanno parte di una configurazione, sarà possibile associare a ciascuna di esse un valore di autoinformazione dipendente dalla sua distanza dal baricentro (o centroide) e quindi sarà possibile calcolare la probabilità, per ciascuna coppella, che chi la incise volesse proprio posizionala a quella distanza dal baricentro della configurazione, cioè in quella precisa posizione rispetto a tutte le altre coppelle facenti parte di essa. Tale probabilità si ottiene invertendo l’autoinformazione individuale nel modo seguente:
Pm = exp(-Im (m=1,…,N)
Dal punto di vista pratico non è possibile calcolare ciascuna probabilità individuale, cioè per ogni coppella, ma è possibile solamente ottenere la valutazione complessiva di una funzione di disordine della configurazione, cioè l’Entropia. In questo caso potremo approssimare l’Entropia assoluta H con l’Entropia differenziale h di tutta la configurazione (Haykin, 1994) ottenendo:
H ~ h = -[ P1 ln(P1) + P2 ln(P2) + … + Pm ln(Pm)]

 
Casualità e correlazione

La posizione di ciascuna coppella all’interno della configurazione è descrivibile univocamente, rispetto ad un sistema di riferimento arbitrario, mediante una coppia di coordinate ortogonali Xm, Ym. Allora potremo fare alcune osservazioni. La prima è che se la disposizione delle coppelle fu in origine ottenuta secondo particolari criteri nella scelta della posizione sulla roccia, allora dovremmo rilevare una distribuzione casuale di esse su tutta l’area occupata della configurazione. In questo caso non esisterà alcuna correlazione tra le coppie di coordinate Xm e Ym che caratterizzano ciascun elemento. La configurazione delle coppelle sarà quindi evidentemente casuale. Se invece le coppelle si dispongono in modo da privilegiare almeno a grandi linee qualche direzione particolare allora esisterà una correlazione più o meno stretta tra le coppie di coordinate dei vari elementi. La correlazione tra Xm e Ym puo’ essere sperimentalmente misurata ottenendo il cosiddetto “coefficiente di correlazione lineare”, indicato con “r”, il cui quadrato è detto “coefficiente di determinazione” il quale puo’ essere calcolato in funzione della covarianza tra Xm e Ym e delle varianze individuali di Xm e Ym. Questo equivale a descrivere la distribuzione spaziale delle coppelle entro una configurazione mediante una funzione densità di probabilità congiunta la quale sarà una distribuzione normale bivariata. Il fatto che una configurazione sia caratterizzata da una possibile disposizione ordinata delle coppelle non ci assicura automaticamente che tale fosse anche nelle intenzioni di coloro che anticamente le incisero. Ad esempio è possibile infatti che rilevando solamente un sottoinsieme delle coppelle che in origine costituivano la configurazione si arrivi a misurare un grado di correlazione relativamente elevato anche se in origine la distribuzione spaziale complessiva delle coppelle fu del tutto casuale. Supponendo di misurare un coefficiente di correlazione significativamente elevato, dobbiamo calcolare la probabilità che il valore ottenuto sia vero. Infatti è talvolta possibile che dalla disposizione casuale di N punti si venga a formare casualmente una distribuzione abbastanza ordinata e quindi il coefficiente di correlazione misurato sia significativamente diverso da zero. La probabilità che ciò avvenga dipende dal numero dei punti e dal grado di correlazione che puo’ verificarsi. Dato un certo valore R per il coefficiente di correlazione osservato, la probabilità P(R,r) che N punti si dispongano casualmente in modo da far si che possa essere misurato un valore |r| uguale o maggiore di R, e’ possibile solo mediante integrazione numerica di una funzione integrale molto complessa (Taylor, 1986,1998). La tabella seguente fornisce i valori della probabilità P(r,R) in funzione di N e R. (Ricordiamo che N è il numero di coppelle che compongono la configurazione).

 
Valori della probabilità P(r,R

Coefficiente di Correlazione R
N
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
3
1.0
0.940
0.870
0.810
0.740
0.670
0.590
0.510
0.410
0.29
0.00
6
1.0
0.850
0.700
0.560
0.430
0.310
0.210
0.120
0.060
0.01
0.00
10
1.0
0.780
0.580
0.400
0.250
0.140
0.070
0.020
0.005
0.00
0.00
20
1.0
0.670
0.400
0.200
0.080
0.020
0.005
0.001
0.000
0.00
0.00
50
1.0
0.490
0.160
0.030
0.004
0.000
0.000
0.000
0.000
0.00
0.00
60
1.0
0.450
0.130
0.020
0.002
0.000
0.000
0.000
0.000
0.00
0.00
70
1.0
0.410
0.097
0.012
0.001
0.000
0.000
0.000
0.000
0.00
0.00
80
1.0
0.380
0.075
0.007
0.001
0.000
0.000
0.000
0.000
0.00
0.00
90
1.0
0.350
0.059
0.004
0.001
0.000
0.000
0.000
0.000
0.00
0.00
100
1.0
0.320
0.046
0.002
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.00
0.00
Appare quindi evidente che se una distribuzione spaziale di coppelle mostra un certo coefficiente di correlazione misurato R, la probabilità che tale valore sia simulato da una distribuzione casuale vale P(r,R), quindi la probabilità che la distribuzione spaziale NON sia casuale sarà data dal valore complementare:
P(R) = 1 – P(r,R)
In questo modo data una distribuzione spaziale di coppelle all’interno di una configurazione, noi siamo in grado di valutare la probabilità che tale distribuzione derivi da un artifatto casuale e non da una deliberata scelta di chi decise la posizione dei singoli elementi della configurazione.

 
La Mutua Informazione

Dalla Teoria dell’Informazione otteniamo che la Mutua Informazione I(X,Y) relativa alla configurazione formata dalla disposizione complessiva delle coppelle nella configurazione è legata al coefficiente di correlazione in maniera tecnicamente molto semplice. La mutua informazione puo’ essere vista come la quantità di informazione legata all’osservazione di una determinata distribuzione spaziale delle coppelle all’interno della configurazione. In questo caso la mutua informazione si riferisce non ad una sola coppella, ma a tutto l’insieme delle coppelle comprese nella configurazione quindi ci fornirà importanti informazioni sulla struttura globale di essa. La mutua informazione non è altro che una generalizzazione del concetto di autoinformazione gia’ introdotto in precedenza, quindi ne conserverà tutte le proprietà matematiche. Questo fatto ci conduce a poter calcolare la probabilità “Pc” che la distribuzione spaziale delle coppelle attualmente rilevata per una configurazione si potesse effettivamente verificare quando essa fu prodotta. Tale probabilità vale:
Pc = exp(-I(X,Y))
La probabilità Pc ci suggerisce alcune considerazioni degne di nota. Infatti se la disposizione delle coppelle è pressoché casuale allora il valore assoluto del coefficiente di correlazione risulta piuttosto basso e la mutua informazione pressoché nulla. Questo conduce ad avere una alta probabilità che quella distribuzione spaziale potesse essere spontaneamente ottenuta, nel corso degli anni, da coloro che incisero le coppelle facenti parte della configurazione in quanto essi non ritennero opportuno prendere in considerazione alcun criterio teso a disporne ordinatamente gli elementi. Se contrariamente a ciò la correlazione risulta elevata, come conseguenza di uno sviluppo ordinato della configurazione, allora sarà possibile osservare una disposizione tesa a privilegiare la distribuzione spaziale delle coppelle lungo particolari direttrici sulla roccia; è il caso ad esempio delle coppelle che accompagnano il petroglifo noto come “Rosa Camuna”. In questo caso la mutua informazione sarà elevata in quanto una disposizione ordinata implica l’esistenza in origine di un criterio applicato, che si traduce matematicamente nella codifica di una certa quantità di informazione nella distribuzione spaziale delle coppelle ottenuta applicando quel particolare criterio. Un valore elevato di mutua informazione implica una bassa probabilità che una disposizione cosi’ ordinata avesse potuto essere messa in pratica. La probabilità dell’evento complementare, cioè quello della deliberata disposizione ordinata delle coppelle da parte dell’individuo che le incise sarà:
Po = 1 – Pc
e nel caso di una distribuzione spaziale ordinata, essa sarà elevata.
La tabella seguente riassume i vari casi.

 
Distribuzione spaziale delle coppelle

Funzione
Fortemente
Fortemente
Disordinata
ordinata
Entropia H
alta
bassa
Correlazione |r|
vicino a 0
vicino a 1
Mutua Inf. I(X,Y
vicina a 0
molto alta, tendente ad infinito
Probabilità P
vicina a 100%
vicina a 0%
Probabilità Po
vicina a 0%
vicina a 100%
La tabella seguente mette in evidenza i valori della mutua informazione I(X;Y) e delle probabilità Pc e Po in funzione del coefficiente “r” di correlazione.
|r|
I(x;y)
Pc
Po
0.000
0.000
1.000
0.000
0.100
0.005
0.995
0.005
0.200
0.020
0.980
0.020
0.300
0.047
0.954
0.046
0.400
0.087
0.917
0.083
0.500
0.144
0.866
0.134
0.600
0.223
0.800
0.200
0.700
0.337
0.714
0.286
0.800
0.511
0.600
0.400
0.900
0.830
0.436
0.564
0.950
1.164
0.312
0.688
0.975
1.504
0.222
0.778
0.990
1.959
0.141
0.859
0.999
3.108
0.045
0.955
1.000
infinito
0.000
1.000
Osserviamo un fatto interessante e cioè che per avere la probabilità del 50% di orientazione non casuale, il pattern di coppelle deve mostrare un coefficiente di cross-correlazione pari almeno a 0.87. La conclusione è che solamente una distribuzione che mostra una rilevante correlazione (|r|>87%) ha almeno il 50% di probabilità di non derivare da una disposizione casuale delle singole coppelle. Solo in questo caso potrà essere ipotizzata una eventuale correlazione con qualche direzione astronomicamente significativa.

 
La determinazione dell’orientazione della configurazione

Qualora le analisi abbiano rivelato che esiste un consistente valore del coefficiente di correlazione a supporto del fatto che le coppelle siano distribuite in modo da disporsi ordinatamente e in maniera pressoché lineare lungo una direzione, è possibile stimare l’azimut Az della direzione rispetto al sistema di assi cartesiani di riferimento. Infatti noto r e la due varianze var(X) e var(Y) si perviene facilmente ad ottenere l’azimut Az mediante la seguente relazione:
Az = atan( r var(Y)/var(X) )
Questo risultato è molto interessante in quanto mette in evidenza che l’angolo di azimut viene a dipendere dal coefficiente di correlazione e dalle varianze delle distribuzioni marginali dei dati.
Un’espressione alternativa è la seguente:
Az = atan(cov(X,Y)/var(X))
che utilizza solamente la covarianza e la varianza della distribuzione degli Xm. Le distribuzioni marginali sono caratterizzate, ciascuna dalla loro entropia differenziale di Shannon, rispettivamente h(x) e h(y) normalizzate in modo da avere entropia nulla quando la varianza è unitaria. La distribuzione congiunta sarà caratterizzata della sua cross entropy h(xy) di conseguenza l’azimut “Az” puo’ essere calcolato anche in funzione di due delle tre entropie. Questo risultato è dovuto al fatto che le entropie differenziali contengono l’informazione completa relativamente alla distribuzione spaziale delle coppelle che fanno parte della configurazione. Questo metodo permette di determinare l’azimut di orientazione che soddisfa il criterio dei minimi quadrati, cioè che minimizza la somma dei quadrati dei residui tra i punti che simboleggiano le coppelle e i punti corrispondenti sulla retta che approssima la direzione di orientazione dell’intera configurazione. Questa procedura, seppur formalmente ineccepibile, è caratterizzata dal difetto di non essere applicabile in maniera rigorosa all’analisi della distribuzione spaziale delle coppelle all’interno di una configurazione in quanto esse sono identificate da coppie di coordinate sperimentalmente misurate che possiamo ritenere entrambe affette da deviazioni casuali rispetto alle coordinate previste dall’orientazione teorica. Il metodo descritto presuppone che solo le coordinate Ym siano devianti rispetto a quelle previste dalla direzione teorica, mentre le Xm siano “esatte”. Attenzione! abbiamo parlato di deviazioni, non di errori, in quanto gli scarti rispetto alla linea che identifica la direzione di orientazione possono non essere accidentali, ma rappresentare invece precise caratteristiche proprie della struttura interna della configurazione in esame. è necessario quindi che l’algoritmo di calcolo dell’azimut di orientazione tenga conto delle deviazioni in entrambe le direzioni, X e Y allo stesso modo. Vediamo allora come è possibile risolvere questo problema. Per prima cosa definiamo la funzione matematica che rappresenta la nozione di “allineamento orientato”. Essa sarà l’equazione della retta generica in coordinate polari:
X sin(Az) – Y cos(Az) + Ro = 0
in cui “Az” è l’azimut dell’allineamento rispetto al sistema di assi cartesiani di riferimento e “Ro” è la distanza euclidea della retta dall’origine del sistema di riferimento. Ovviamente la posizione delle coppelle sulla roccia identificherà una direzione grossomodo rettilinea, ma ciascuna coppella sarà caratterizzata da una deviazione, rispetto al valore teorico previsto dalla retta che identifica l’allineamento. La retta più probabile per descrivere l’allineamento sarà quindi quella che minimizzerà la somma dei quadrati delle distanze euclidee tra ciascuna coppella rilevata sulla roccia e il corrispondente punto previsto dalla retta approssimante l’allineamento orientato. Il procedimento descritto in questa sede è differente dal calcolo della retta dei Minimi Quadrati nel senso classico, ma in quanto in questo caso non viene minimizzata la somma dei quadrati degli scarti in direzione Y, bensì i quadrati delle deviazioni in direzione perpendicolare alla retta, cioè le distanze euclidee tra le coppelle e la retta. La soluzione del nostro problema richiede che si determini il valore ottimale dell’azimut di orientazione Az e, ma meno importante, il coefficiente Ro. I valori ottimali dei due parametri saranno quelli che minimizzeranno una conveniente funzione “Chi Quadrato” da cui è possibile ricavare analiticamente le espressioni in forma chiusa per il calcolo dei parametri cercati.

 

Appendice

 
Applicazione delle Reti Neuronali Artificiali al problema della classificazione delle configurazioni di coppelle

Il problema dell’analisi e della classificazione delle distribuzioni spaziali all’interno delle configurazione antiche è molto adatto ad essere risolto efficientemente mediante reti neuronali artificiali. Descriveremo ora il programma COPNET, un sistema neuro-fuzzy basato sull’implementazione del concetto di fuzzy-neurone di Hayashi del primo tipo e dell’idea di Gas Neurale (Martinets et Al, 1998) che consiste nel considerare le coppelle facenti parte di una configurazione come le particelle di un gas in equilibrio termodinamico.
Va sotto il nome di “fuzzy-neurone” del primo tipo un dispositivo di processamento che riceve in input N segnali post-synaptici provenienti dai neuroni appartenenti allo stato precedente e calcola il seguente output:
output(j) := G[input(1)]

in cui ” Il Fuzzy-Neurone è quindi un’unità di processamento capace di eseguire una funzione F{.}, arbitrariamente complessa, di più variabili, ad esempio:
Output := F{input(1),input(2),input(3),…,input(N)}

Le variabili in input sono tutti segnali post-sinaptici provenienti dal layer precedente. La funzione F{.} è quindi il generico operatore di aggregazione. In questa logica le sinapsi sono intese come unità di connessione e trasporto di segnale capaci di eseguire una funzione G{.}, arbitrariamente complessa, ma di una sola variabile in quanto ogni sinapsi trasporta un solo output del neurone dello strato precedente a cui essa è connessa. Ad esempio:

Post_synaptic_signal(k) := G{pre_synaptic_signal(k)}
In questo caso la variabile in input è il segnale pre-sinaptico proveniente da un neurone del layer precedente, la variabile in output è il segnale post-sinaptico diretto a un neurone del layer seguente. La funzione G{} è una generica “membership function” di un generico Fuzzy Set. Quindi la trasformazione operata da un fuzzy-neurone sarà la seguente:
output(j) := F{G[input(1)],G[input(2)],…,G[input(k)],…,G[input(N)]}
Qualora G{z} sia:
G{z} = z C
con C=costante, allora:
F{x,y,z,…,w} = H{x+y+z+…+w}
con H{z} che è una nonlinearità sigmoidale allora il fuzzy neurone coincide con il concetto di neurone classico.
La rete neuronale fuzzy COPNET è composta da tre strati, lo strato di input è composto da 2N nodi (non fuzzy), dove N è il numero di coppelle che fanno parte della configurazione da analizzare. Il secondo strato è composto da 3 fuzzy neuroni i quali calcolano le tre energie Ex, Ey, Exy che sono rispettivamente le energie delle distribuzioni marginali X, Y e della distribuzione congiunta XY. Le energie E delle distribuzioni marginali sono legate alle rispettive entropie differenziali scalate H secondo la seguente semplice trasformazione:
E := exp(H)
L’ultimo strato è composto da 4 fuzzy neuroni i quali calcolano il coefficiente di cross-correlazione r[x|y], la probabilità Po che il pattern analizzato sia non-random, la mutua informazione I(x;y) e l’azimut di orientazione rispetto alla direzione X presa a riferimento. Sfruttando la flessibilità delle reti neuronali artificiali, è possibile utilizzare la stessa mesostruttura per valutare le tre entropie differenziali di Shannon H(x), H(y) e H(xy) al posto delle tre energie Ex, Ey, Exy. Dalle tre entropie è poi possibile ottenere nuovamente le quattro funzioni r[x|y], I(x;y), Po, Az che descrivono completamente la configurazione delle coppelle.

 

Bibliografia

  • Haykin S., 1994, “Neural Networks: A Comprehensive Foundations”, Ed. Mc Millan, New York.
  • Proakis J., 1988, “Digital Communications”, Ed. McGraw Hill, New York.
  • Taylor R., 1986, “Introduzione alla Teoria degli Errori”, Ed. Zanichelli Bologna

Adriano Gaspani
Osservatorio Astronomico di Brera – Milano


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