Analisi probabilistica delle “Rose” di Sellero

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La rosa di Carpene a Sellero in Valcamonica è formata da due linee di 5 coppelle ciascuna allineate lungo la direzione Nord-Sud ed Est-Ovest. La linea nord-sud è racchiudibile in un inviluppo rettangolare minimo pari con dimensioni A=60 cm e B=5 cm. Il rapporto B/A vale 0.083 che conduce ad una “fuzziness” pari a 4.8 gradi.

by Adriano Gaspani

 

TRACCE PHP-Nuke version, 2002-2011

Analisi probabilistica delle “Rose” di Carpene di Sellero



 
Introduzione

Accade sovente che la disposizione delle coppelle che sono rilevabili sui massi e sulle rocce sembri essere, a prima vista, del tutto casuale. In altri casi invece la disposizione delle coppelle è tale da suggerire la possibilità che esse siano state, in origine, disposte deliberatamente secondo modelli regolari. In taluni casi addirittura si rileva uno sviluppo regolare lungo una o più direzioni privilegiate che in talvolta potrebbero coincidere con una o più direzioni astronomicamente significative. A meno dell’esistenza di fonti scritte, ogni valutazione relativamente alla possibile distribuzione spaziale viene usualmente fatta sulla base di criteri euristici o empirici. Lo scopo di questo lavoro è quello di mettere a punto una metodologia oggettiva basata su solide basi matematiche e statistiche capace di fornire almeno una valutazione empirica del grado di accuratezza con cui un’eventuale direzione, identificata dal suo azimut rispetto alla direzione nord del meridiano astronomico locale, sia stata codificata mediante la configurazione delle coppelle. Il secondo scopo sarà’ quello di fornire una valutazione della probabilità che la direzione di sviluppo della configurazione sia casualmente in errore di un certo valore rispetto alla direzione vera che era richiesto di codificare realizzando quella configurazione.

 
Accuratezza e Precisione

Iniziamo definendo i concetti di “accuratezza” e di “precisione” che sono di fondamentale importanza nel prosieguo del presente lavoro. Si definisce “precisione” il grado di addensamento di una serie di misure sperimentali intorno al valore medio della popolazione statistica da esse rappresentata. Nel caso presente la precisione è legata alla distribuzione spaziale delle coppelle e al grado di entropia propria della loro configurazione. L'”accuratezza” è invece il grado di approssimazione della media della popolazione statistica rispetto al valore vero della grandezza stimata mediante ripetute misure. Nel presente caso l’accuratezza sarà’ rappresentata da quanto l’azimut astronomico della direzione media di sviluppo della configurazione approssima l’azimut astronomico della direzione che la distribuzione delle coppelle aveva il compito di codificare quando fu tracciata sulla roccia.

 
Minimo inviluppo

In prima approssimazione potremmo essere tentati di definire l’azimut astronomico della direzione presumibilmente codificata dalla “linea” di coppelle calcolando la retta dei minimi quadrati, o quella che minimizza qualche altra conveniente funzione d’errore, del tipo:
Y = X tan(90-A*) + C
dove X,Y sono le coordinate del centro di ciascuna coppella rispetto ad un sistema di assi coordinati in cui Y sia diretto positivamente a nord lungo la linea meridiana e X positivo coincida con la direzione orientale della linea equinoziale, A* è l’azimut astronomico e C è una costante. Il metodo potrebbe essere formalmente corretto, ma poiché il numero di coppelle generalmente presenti lungo una “linea” è basso, abbiamo problemi nella scelta della funzione densità di probabilità’ dalla quale derivare il criterio di ottimizzazione più adatto per calcolare i parametri della (1).Un secondo problema deriva dal fatto che il centro geometrico di ciascuna coppella non è detto sia una buona stima della posizione originale della coppella sulla roccia Un valore approssimato dell’angolo di azimut astronomico e comunque stimabile eseguendo alcune misurazioni di direzione mediante il teodolite o la bussola topografica con successiva calibrazione della direzione di riferimento mediante una linea di base ottenuta con grande accuratezza mediante rilevamento satellitare (GPS o GPS+GLONASS). L’azimut astronomico così ottenuto rimane sempre affetto da un’accuratezza relativamente scarsa anche se il grado di precisione potrebbe essere molto elevato, a causa di possibili deviazioni sistematiche che potrebbero derivare dal fatto che la configurazione delle coppelle è generalmente di lunghezza limitata (meno di 1 metro) e che la direzione è spesso marcata sulla roccia utilizzando un filo che approssimando l’andamento delle coppelle cerca di realizzare in qualche modo e secondo una valutazione visuale ed empirica, l’equazione (1). L’errore della direzione del filo rispetto a quella “vera” che aveva in origine l’obbiettivo di determinare una ristretta zona di orizzonte, per qualche verso interessante può essere stimato determinandone il suo limite superiore costruendo l’inviluppo rettangolare che pur essendo capace di racchiudere al suo interno tutte le coppelle che fanno parte della configurazione, possiede la minima area possibile. I lati del rettangolo saranno quindi A (lato lungo) e B (lato corto). Uno dei due assi dell’inviluppo rettangolare minimo sarà’ quindi la direzione di orientazione della configurazione. Appare evidente a questo punto lo stretto legame concettuale tra il minimo inviluppo rettangolare e il grado di “fuzziness” dell’allineamento definito dalla linea di coppelle.

 
Accuratezza Stimata

L’accuratezza empirica stimata per l’orientazione della configurazione delle coppelle dipenderà strettamente dal rapporto B/A secondo la seguente relazione rigorosa:
e(A*) = atan(B/A)
e se tale rapporto risulta minore o uguale ad 1/3, cosa che avviene praticamente nelle totalità delle configurazioni orientate, è facile ottenere una valutazione approssimata dell’accuratezza (in gradi):
e(A*) ~ 57.3 (B/A + …)
Il valore e(A*) rappresenta solamente una valutazione empirica dell’accuratezza con cui l’azimut misurato potrebbe approssimare il vero valore derivante dall’orientazione teorica della configurazione in fase di realizzazione, nei tempi antichi ed in nessun caso deve essere inteso come l’approssimazione raggiunta da chi incise le coppelle sulla pietra. Di fatto e(A*) rappresenta bene il grado di “fuzziness” che caratterizza l’allineamento della fila di coppelle e questo parametro rappresenta un elemento importante ai fini della valutazione del grado di accuratezza dell’azimut astronomico pertinente alla linea di coppelle.
A questo punto si aprono due vie lungo cui indirizzare la presente analisi. La prima riguarda la pura e semplice valutazione dell’accuratezza che gli incisori delle coppelle raggiunsero nell’ipotesi che fosse loro intenzione realizzare un allineamento ben preciso, non necessariamente correlato con qualche oggetto astronomico, ma semplicemente con un punto posto lungo la direzione, nell’uno o nell’altro senso, materializzata dalla linea di coppelle. La seconda via è quella che richiede di stimare il grado di probabilità che la linea di coppelle sia orientata verso una determinata direzione, solamente a causa di una combinazione di fattori casuali. Prenderemo in esame, una dopo l’altra, entrambe le problematiche.

 
Accuratezza e probabilità

Per tentare una valutazione della possibile accuratezza raggiunta dagli autori della “linea” di coppelle bisogna ragionare in termini probabilistici tentando di dare una risposta alla seguente domanda.
Qual’è la probabilità’ che la configurazione delle coppelle indichi casualmente una direzione sbagliata di una quantità Q rispetto all’azimut vero Ao qualora la valutazione dell’accuratezza empirica stimata sia e(A*)”
Tentiamo di dare una ragionevole risposta a questa domanda.
L’andamento della variabile casuale che approssima la distribuzione delle N(N-1) possibili direzioni ottenute congiungendo a 2 a 2 le N coppelle della configurazione può essere descritta da una distribuzione di Weibull con fattore di forma pari a 2, cioè una distribuzione di Rayleigh, quindi la probabilità’ che la “linea” di coppelle indichi casualmente una direzione con azimut diverso da quello vero di una differenza pari a Q, vale:
2
-(Q/e(A*))
P(.) = 1 – e
da cui si deduce che la deviazione Q rimarrà entro l’accuratezza e(A*) solamente con un livello di probabilità’ pari al 63%, ma desiderando una stima maggiormente sicura del grado di accuratezza raggiunto dai costruttori della linea di coppelle dovremo selezionare valori di Q tali da raggiungere un grado di probabilità’ più elevato, quindi Q potrebbe risultare sensibilmente maggiore di e(A*).

 
Significatività e Probabilità

Prendiamo ora in esame la linea di coppelle la cui “fuzziness” R sia stata valutata mediante il metodo del minimo inviluppo rettangolare. Sarà quindi (in maniera rigorosa):
R = atan(B/A)
in entrambe le direzioni. Di fatto R rappresenta l’ampiezza del settore di orizzonte in cui il fascio di N(N-1) direzioni individuate dalle N coppelle che compongono la linea, è orientato. Definendo “p” la probabilità’ che un allineamento definito da una qualsiasi combinazione delle coppelle che compongono la linea individui casualmente una ben precisa direzione astronomicamente significativa, con un grado di fuzziness pari a R (in gradi), potremo scrivere:
p = R/360
Appare evidente che nel caso le coppelle siano distribuite in maniera completamente disordinata, il minimo inviluppo rettangolare tenderà alla forma quadrata con A=B, quindi la configurazione sarà’ casualmente allineata con il 25% di probabilità’ verso uno qualsiasi dei quattro settori in cui possiamo dividere il cerchio dell’orizzonte astronomico locale; di fatto non sarà’ allineata da nessuna parte. Al contrario se una linea di coppelle risulterà ben allineata, il rapporto B/A sarà’ piccolo quindi la probabilità’ che la direzione individuata dalla linea sia stata raggiunta casualmente sarà’ molto ridotta e sarà’ possibile approssimarla mediante la semplice formula:
p ~ 0.16 (B/A + …)
Facciamo un esempio. La rosa di Carpene a Sellero in Valcamonica è formata da due linee di 5 coppelle ciascuna allineate lungo la direzione Nord-Sud ed Est-Ovest. La linea nord-sud è racchiudibile in un inviluppo rettangolare minimo pari con dimensioni A=60 cm e B=5 cm. Il rapporto B/A vale 0.083 che conduce ad una “fuzziness” pari a 4.8 gradi; tale quindi sarà’ l’ampiezza del settore di orizzonte entro cui potremmo trovare il bersaglio dell’allineamento materializzato dalla linea di coppelle diretta approssimativamente lungo la linea meridiana. La probabilità’ che la linea di coppelle abbia casualmente individuato quel ben preciso settore di orizzonte vale p=0.013, quindi poco più dell’1%.
La linea est-ovest è meglio allineata essendo racchiudibile in un inviluppo rettangolare minimo pari con dimensioni A=58.5 cm e B=3.5 cm. Il rapporto B/A vale 0.0598 che implica ad una “fuzziness” pari a 3.5 gradi; tale quindi sarà’ l’ampiezza del settore di orizzonte entro cui potremmo trovare il bersaglio dell’allineamento materializzato dalla linea di coppelle diretta rozzamente lungo la linea equinoziale. La probabilità’ che la linea di coppelle est-ovest abbia casualmente individuato quel ben preciso settore di orizzonte vale p=0.009, quindi poco meno dell’1%.

 
Analisi globale

Prendiamo ora in esame il caso in cui la configurazione presente sulla roccia preveda più di una linea di coppelle; nel caso della Rosa di Carpene abbiamo M=2 linee che si incrociano e che sono orientate circa ortogonalmente l’una rispetto all’altra. Facciamo dapprima l’ipotesi che le due linee siano indipendenti tra di loro quindi la probabilità’ che entrambe le linee, nord-sud ed est-ovest, siano casualmente allineate verso i rispettivi settori di orizzonte è il prodotto delle due probabilità’ individuali, cioè:
P = p1 &

che numericamente porta al valore P=0.00012 cioè allo 0.12%. Esiste però il fatto che le due linee hanno in comune una coppella, quella centrale e che esiste l’incisione curvilinea che stabilisce il profilo della Rosa Camuna, fatti che ci indicano chiaramente che le due linee di coppelle non potevano assumere direzioni indipendenti tra loro, ma dovevano mantenere obbligatoriamente una configurazione a croce in modo da poter rappresentare la figura nota come “Rosa”. In questo caso il calcolo della probabilità’ che una figura quale quella della Rosa di Carpene possa essere orientata come la rileviamo, assumendo un grado di “fuzziness” pari a 4 gradi, solamente a causa di una combinazione di fattori casuali è valutabile mediante la relazione:
P(random) = 0.0028 R S
in cui S rappresenta il numero di simmetrie della configurazione. Nel caso della Rosa abbiamo R~4 gradi, mentre essendo una croce a 4 bracci, S=4. Il calcolo ci fornirà 1 probabilità’ su 22.5, cioè pari al 4.4%, che il petroglifo così come è stato rilevato sia posto casualmente con quella orientazione. A questo punto può essere utile ricordare che sulla grande roccia di Carpene sono incise altre due “rose” che risultano orientate in modo concorde con la “rosa grande“. La tabella seguente riepiloga gli azimut astronomici di orientazione rilevati sulla roccia il 21 Giugno 2000.

 
Riepilogo delle orientazioni dei bracci delle tre rose camune

Azimut Astronomici (gradi) lungo le direzioni indicate

 

S->N N->S E->W W->E Note
Rosa A 352.5 172.5 276.1 96.1 Rosa grande
Rosa B 316.6 136.6 225.0 45.0 Rosa minore
Rosa C 309.2 129.2 204.1 24.1 Rosa minore
Appare subito evidente che la concordanza tra gli azimut astronomici di orientazione dei bracci orientati nella direzione N->S avviene, nel caso delle due “rose” minori, entro un intervallo di 7.4 gradi. Assumiamo un grado di “fuzziness” media un poco maggior e cioè pari a 8 gradi e calcoliamo la probabilità’ che le due “rose” minori risultino casualmente orientate in maniera concorde entro un grado di “fuzziness” pari a R=8 gradi. Tale probabilità’, essendo le due “rose” minori dei petroglifi indipendenti l’uno dall’altro, sarà’ valutabile secondo la seguente relazione, in cui R=8 gradi, S=4 (poiché sono croci a 4 bracci) e n=2 (rose):
n P(random) = (0.0028 R S)
Il calcolo fornisce: P(random)=0.008 vale a dire 1 probabilità’ su 125 che le due “rose” minori incise sulla grande roccia di Carpene siano orientate casualmente nel modo che è stato rilevato, cioè con una concordanza di 8 gradi nella direzione dei loro assi. Va ora rilevato che le tre “rose” minori sono incise sulla stessa roccia a poca distanza l’una dall’altra, quindi potremmo anche ipotizzare che l’incisore di 2 dei 3 petroglifi si possa essere basato sull’orientazione di uno già tracciato precedentemente in loco. La “rosa” grande non dovrebbe essere servita come riferimento sia considerando la differenza stilistica, sia per il fatto che l’orientazione dei bracci devia sensibilmente dalla direzione media dei bracci delle due “rose” più piccole. A questo punto sorgono due interessanti interrogativi, il primo riguarda il grado di dipendenza statistica di ciascuna “rosa” rispetto alle altre due. Il secondo interrogativo riguarda il fatto che le due “rose” minori siano state orientate secondo un criterio comune.
Esaminiamo il primo interrogativo e per fare questo consideriamo come direzione di riferimento quella dei bracci che risultano approssimativamente orientati da sud a nord. La media degli azimut astronomici di orientazione S->N delle tre rose vale 326.1 gradi con una deviazione standard “s” pari a 18.9 gradi. Supponiamo quale ipotesi di lavoro che i tre valori di azimut siano stati estratti da una popolazione statistica la cui distribuzione sia descritta nuovamente da una distribuzione di Weibull con fattore di forma pari a 2, cioè una distribuzione di Rayleigh, quindi la probabilità’ P(z) che l’azimut astronomico di orientazione S-N di una generica rosa abbia un determinato valore che devia casualmente dalla media di una quantità “z” sarà’:
2 -(z/s) P(z) = 1 – e
Il calcolo di P(z) per le tre petroglifi indica che la “rosa” grande è caratterizzata da una probabilità’ pari al 87% di concordare con la direzione media di orientazione della configurazione globale formata dalle tre “rose” solamente a causa di una combinazione di fattori puramente casuali. Nel caso della “rosa” minore B la probabilità’ di concordanza casuale si riduce al solo 22% e per quanto riguarda la “rosa” minore C tale probabilità’ sale al 58%. A questo punto appare evidente che le due “rose” minori sono parenti l’una dell’altra, fatto che è anche abbastanza evidente dal punto di vista stilistico, mentre la “rosa” grande sembrerebbe essere ben poco correlata con le due minori. In questa sede stiamo esaminando solamente le orientazioni rispetto alla linea del meridiano astronomico locale e non è automatico che le differenze stilistiche debbano implicare anche differenti criteri di orientazione. Al contrario, le due caratteristiche sono completamente indipendenti l’una dall’altra. A questo punto è possibile eseguire un ulteriore test statistico e cioè accettando che le orientazioni delle due “rose” minori siano una realizzazione statistica della direzione vera di orientazione che possiamo assumere coincidente con la media aritmetica delle due direzioni S->N codificate dai petroglifi otterremo che ciascuna delle due “rose” minori risulta orientata entro 1 deviazione standard in più o in meno rispetto alla direzione media, ma l’orientazione della “rosa” grande è posta a 10.7 volte la deviazione standard rispetto alla direzione media, che conduce ad una probabilità’ vicinissima al 100% che l’eventuale concordanza della sua orientazione con quella delle due “rose” minori sia casuale. Tocca ora esaminare il secondo interrogativo cioè il fatto che le due “rose” minori possano essere state orientate secondo un criterio comune. Di fatto l’analisi precedente ha già fornito una risposta per lo meno a livello qualitativo, ma vediamo di essere maggiormente precisi. Il nostro problema diventa, quindi, in termini matematico-statistici il seguente:
<<Durante un esperimento consistente di “n” prove indipendenti un evento ha una probabilità’ “p” di verificarsi in una singola prova. Quale è la probabilità’ P(x) di ottenere “x” successi durante le “n” prove?>>.
Riscriviamo ora il nostro problema in un linguaggio più appropriato alla situazione attuale:
<<Se abbiamo “n” rose e ciascuna ha probabilità’ “p” di essere casualmente orientata verso un determinato punto dell’orizzonte, con un certo margine d’errore, qual’è la probabilità’ P(x) che un sottoinsieme “x” rose delle “n”, sia orientato casualmente verso quella direzione e con quel margine d’errore>>.
La risposta a questa domanda è immediata. Infatti la distribuzione di probabilità’ che si adatta perfettamente a questa situazione è quella di Bernoulli detta anche Binomiale:
x (n-x) P(x) = C(n,x) p (1-p)
in cui C(n,x) è il coefficiente binomiale:
n! C(n,x) = ——— x! (n-x)!
La media e la deviazione standard pertinenti a questa distribuzione di probabilità’ sono i seguenti:
Media: m = n p
1/2
Deviazione Standard: s = (n p (1-p))
dove: p = 0.0028 R S.

 

A questo punto, essendo le “rose” minori in numero di 2, abbiamo che la distribuzione Binomiale ha media m=0.18 e deviazione standard pari a 0.40, inoltre sono possibili due casi:
  • una sola delle 2 “rose” minori è orientata casualmente verso la direzione rilevata, con un grado di “fuzziness” pari a 8 gradi. In questo caso: p=0.09, n=2 e x=1, allora P(1)=0.16, vale a dire che abbiamo il 16% di probabilità’ che una qualsiasi delle due “rose” minori sia orientata a caso in maniera concorde con l’altra.
  • Tutte le 2 “rose” minori sono orientate casualmente verso la direzione rilevata, con un grado di “fuzziness” pari a 8 gradi. In questo caso: p=0.09, n=2 e x=2, allora P(2)=0.008, che è il valore trovato in precedenza nel caso di due petroglifi indipendentemente orientati, vale a dire 1 su 125.
È chiaro che il valore del grado di “fuzziness” è tale per cui data la direzione N->S rilevata sulla roccia per una “rosa”, anche quella della seconda sarà’ compresa entro tale intervallo. Supponendo invece che entrambe le “rose” minori siano state orientate nel tentativo di codificare la direzione media tra le due ricavabili dalle misure sulla roccia (Az=312.9 gradi), allora il grado di “fuzziness” sarà’ la deviazione standard delle due direzioni rispetto alla direzione media (R=3.7 gradi) e la questione diventerà la seguente:
c) Tutte le 2 “rose” minori sono orientate casualmente verso la direzione media (Az=312.9 gradi), con un grado di “fuzziness” pari a 3.7 gradi. In questo caso: p=0.04, n=2 e x=2, allora P(2)=0.0017, cioè abbiamo meno dello 0.2% di probabilità che entrambe le orientazioni delle due “rose” minori concordino casualmente entro 3.7 gradi in più o in meno con un’orientazione media che si suppone sia stata quella che doveva essere codificata.

 
Conclusione

Alla luce dei risultati ottenuti ci sentiamo autorizzati ad affermare che le tre “rose” incise sulla grande roccia di Carpene a Sellero non furono tracciate casualmente nel modo rilevato, essendo la probabilità di orientazione casuale nelle direzioni misurate, inferiore allo 1%, ma con elevata probabilità (99%) l’orientazione fu deliberatamente stabilita verso determinate direzioni che forse avrebbero anche potuto essere astronomicamente significative. Dal punto di vista dei margini d’errore rileviamo un grado di incertezza di circa 4 gradi per quanto riguarda la “rosa” grande e circa 8 gradi per le due “rose” minori nell’ipotesi che siano state tracciate in maniera indipendente l’una dall’altra, ad esempio in epoche cronologicamente differenti. Nel caso in cui entrambe siano state tracciate nel tentativo di ottenere la concorde orientazione tra le due, allora il margine d’errore scende a poco meno di 4 gradi che essendo un valore praticamente coincidente con quello rilevato nel caso della “rosa” grande, potremmo considerarlo come una stima, seppur grossolana, della precisione di orientazione raggiunta dai Camuni che incisero la roccia 2, settore A, di Carpene a Sellero. Il valore di 4 gradi è quello tipicamente rilevabile nelle orientazioni presenti nei siti archeologici di rilevanza astronomica collocabili cronologicamente all’età del Ferro, presenti sul territorio nord-italico e transalpino. Quello che appare evidente dalla presente analisi è anche che la grande “rosa” risulta fortemente scorrelata con le altre due di minori dimensioni presenti poco distante sulla roccia. La scarsa correlazione rilevata relativamente alle direzioni di orientazione è confermata anche da questioni stilistiche relative alla tipologia delle “rose” rappresentate e forse non è azzardato avanzare l’ipotesi che il tracciamento della “rosa” grande e delle due minori sia da collocare cronologicamente in epoche differenti.

Adriano Gaspani
Osservatorio Astronomico di Brera – Milano


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